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  • 不等式的应用

     不等式与各个数学分支都有密切的联系,利用“大于”、“小于”关系,以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题,本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用.

      1 已知x<0,-1<y<0,将x,xy,xy2按由小到大的顺序排列.

      分析 用作差法比较大小,即若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b.

       因为x-xy=x(1-y),并且x<0,-1<y<0,所以x(1-y)<0,则x<xy.

      因为xy2-xy=xy(y-1)<0,所以xy2<xy.

      因为x-xy2=x(1+y)(1-y)<0,所以x<xy2.

      综上有x<xy2<xy.

      2

     

      试比较A,B的大小.

      

    显然,2x>y,y>0,所以2x-y>0,所以A-B>0,A>B.

      3 若正数a,b,c满足不等式组

     

      试确定a,b,c的大小关系.

      解①+c得

     

      ②+a得

     

      ③+b得

      由④,⑤得

     

        

      所以 c<a.

      同理,由④,⑥得b<C.

      所以a,b,c的大小关系为b<c<a.

      4 当k取何值时,关于x的方程

    3(x+1)=5-kx

      分别有(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解.

       将原方程变形为(3+k)x=2.

      (1)当 3+k>0,即 k>-3时,方程有正数解.

      (2)当3+k<0,即k<-3时,方程有负数解.

      (3)当方程解不大于1时,有

      

      所以1+k,3+k应同号,即

       

      得解为      k≥-1或k<-3.

      注意 由于不等式是大于或等于零,所以分子1+k可以等于零,而分母是不能等于零的。

      5已知

     

      求|x-1|-|x+3|的最大值和最小值.

      

       |x-1|-|x+3|

              

      

    达到最大值4.结合x<-3时的情形,得到:在已

      说明 对含有绝对值符号的问题,无法统一处理.一般情况下,是将实数轴分成几个区间,分别进行讨论,即可脱去绝对值符号.

      6 已知x,y,z为非负实数,且满足

    x+y+z=30,3x+y-z=50.

      求u=5x+4y+2z的最大值和最小值.

       将已知的两个等式联立成方程组

     

      所以①+②得

    4x+2y=80,y=40-2x.

      将y=40-2x代入①可解得

    z=x-10.

      因为y,z均为非负实数,所以

     

      解得 10≤x≤20.

      于是

    u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)

    =-x+140.

      当x值增大时,u的值减小;当x值减小时,u的值增大.故当x=10时,u有最大值130;当x=20时,u有最小值120.

      7 设a,b,c,d均为整数,且关于x的四个方程

    (a-2b)x=1,(b-3c)x=1,

    (c-4d)x=1,x+100=d

    的根都是正数,试求a可能取得的最小值是多少?

       由已知(a-2b)x=1,且根x>0,所以a-2b>0,又因为a,b均为整数,所以a-2b也为整数,所以

    a-2b≥1,即a≥2b+1.

      同理可得,b≥3c+1,c≥4d+1,d≥101.所以

    a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3

    ≥6(4d+1)+3=24d+9

    ≥24×101+9=2433,

    故a可能取得的最小值为2433.

      

      求pq的值.

       由已知

      

      所以 21q<30p<22q.

      因为p,q都为自然数,所以当q分别等于1,2,3,4,5,6时,无适当的p值使21q<30p<22q成立.当q=7时,147<30p<154,取p=5可使该不等式成立.所以q最小为7,此时p=5.于是 pq=5×7=35.

      9 已知:b<c,1<a<b+c<a+1,求证: b<a.

      分析与证明 要学会充分利用不等式的基本性质,按照一定的逻辑顺序来展开推理论证.

      因为b<c,所以2b<b+c,所以由b+c<a+1得2b<a+1,所以由1<a得1+a<2a,所以

    2b<1+a<2a,

      即b<a成立.

      

      分析与解 由题设可知x≥1,y≥2,z≥3,所以

       

      又x≥3时,

     

      也不成立,故x只能为2.

      当x=2时,

     

      令y=3,则z=6.

      当 x=2,y≥4时,

    不成立.

      故本题只有一组解,即x=2,y=3,z=6.

      11 某地区举办初中数学联赛,有A,B,C,D四所中学参加,选手中, A, B两校共16名;B,C两校共 20名; C, D两校共34名,并且各校选手人数的多少是按A,B,C,D中学的顺序选派的,试求各中学的选手人数.

       设A,B,C,D四校的选手人数分别为x,y,z,u.据题意有

     

      由①,②可知,x+y<y+z,所以x<z.又由于人数的多少是按A,B,C,D四校的顺序选派的,所以有x<y<z<u.

      由①与x<y得16-y=x<y,所以y>8.由②与y<z得20-y=z>y,所以y<10.于是8<y<10,所以y=9(因为人数是整数).将y=9代入①,②可知x=7,z=11,再由③有u=23.

      故A校7人,B校9人,C校11人,D校23人.

       

       

       

     

    注意到x只能取1,2,3,4,…,9这九个数字,所以x=2,所以

    所以y=1,z=4.

    所以x=2,y=1,z=4.

    练习八

      1.如果a<b<c,并且x<y<z,那么在四个代数式

      (1) ax+by+cz;(2)ax+bz+cy;

      (3) ay+bx+cz;(4) az+bx+cy

        中哪一个的值最大?

      2.不等式10(x+4)+x<62的正整数解是方程

    2(a+x)-3x=a+1

      3.已知y=|x+2|+|x-1|-|3x-6|,求y的最大值.

      4.已知x,y,z都为自然数,且x<y,当x+y=1998,z-x=2000时,求x+y+z的最大值.

      5.若x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0,试证:x>0,y>0,z>0.

      能值之和是多少?

    《不等式的应用》
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