“函数的单调性与极值”一节的教学建议_数学论文

（沧州师范专科学校，河北 沧州 061001）

　　摘  要：对利用函数的导数来研究函数的单调性与极值等性质的方法与理论的一致性、严密性给以讨论，使学生能顺畅、严谨的理解并掌握它。

　　关键词：极值；最值；导数；函数 中图分类号：O174        文献标识码：B         文章编号：1008-4762(2002)04-0055-02

　　“函数的单调性与极值”是新编中师代数第二册第九章“极限与导数”的最后一节内容，也是本章最精彩的一节内容，因为由极限至导数的一系列概念及求法这些理论工作完成后，下面是学生最有兴趣的问题，研究这些理论有何用？这一节内容就是回答这个问题的。中师课本在利用函数的导数研究函数的性质时，删去了微分中值定理，而使得这个问题的研究由逻辑推理过程变为几何观察过程。不管过程怎么变，数学逻辑思维的严谨性不能变，数学的精炼性、准确性不能变。因此，对本节的教学提出以下三点建议。

　　一、简化求可导函数的极值的解题过程的建议

　　课本上第111页用黑体字给出了求可导数函数f (x) 的极值方法，共三步。但例题的解题过程在完成第二步（求出f′(x)=0的根）后，没有按方法的第三步（检查f (x)在方程f (x)=0根左右的符号，如果左正右负，那么f (x)在根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值）。而是把当x变化时f′(x) 、f (x)的情况列成表，再根据表来得极值。此解法中，表中的内容是怎么得来的，这才是解此类题目的关键，而解题中却略去了，因此，很多学生也感到费解。并且这个变化表也不是必需的；最主要的是，这种解法与课本上求极值的方法的第三步不一致，也造成教材内容的不严谨。为此建议解题过程就按求极值的方法的三步来做，具体做法如下。以第112页例3为例：

　　求函数f (x)=3x²-4x=4的极值

　　解：f′=x²-4    

　　令f′(x)=0， 解得 x₁=-2  x₂=2。 

　　当x<-2时，　f′(x)=x²-4>0；

　　当2>x>-2时，　f′(x)<0；　　（在x=-2左右，f′(x)左正右负）

　　当x>2时，　f′(x)>0；　　　　（在x=-2左右，f′(x)左负右正）

　　y_极大= f (-2)= (-2)³-4(-2)+4=9， 

　　y_极小= f (2)= ·2³-4·2+4=-1。 

　　答：略

　　二、关于闭区间上可导函数的最值的理论及求法的建议

　　闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值，而极值又来源于f′(x)=0的根处的函数值。所以建议求可导函数在闭区间[a，b]上的最值可分以下两步进行：

　　1、求函数在[a，b]内，f′(x)=0根处的函数值。

　　2、比较各根处的函数值与f (a) 、f (b)的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。

　　与课本第111页的结论不同之处在于用“f′(x)=0的根处的函数值”代替了“极值”两字。这样一改，求最值的解题过程就简单了。不但不用画表，而且也不用求极值。以第114页例4为例，具体解题如下：

　　求函数f (x)= 4-x2x_²+5在闭区间[-2，2]上的最大值和最小值。

　　解：先求导数得：f′(x)= 4x³- 4x ，

　　令f′=0即 4x³- 4x=0，　解得x₁=-1  2x=0  3x=1。

　　计算得：f (-1)=4　f (0)=5　f (1)=4　f (-2)=13　f (2)=13。

　　比较得y_极大=13，   y_极小=4。

　　三、关于增补定义域为开区间的可导函数的最值问题的理论的建议

　　课本上第115页及后面的最值应用题，涉及到的都是定义域为开区间的可导函数的最值问题，而书上并没有相应的理论，因此导致解题思路的不顺畅和解题过程的繁杂。为此建议增补这一理论如下：

　　如果一个可导函数f (x)在其定义域内只有一个极值f (x₀)，若f (x₀)为极大值，则f (x₀)就是f (x)的最大值；若f (x₀)为极小值，则f (x₀)就是f (x)的最小值。（证明略）。

　　用此结论解第115页例5的过程如下：

　　解：设水箱底边长为X(厘米)，则水箱的高h=60-x/2，

　　水箱容积v=v(x)=x²h=60x^2-x³/2(0<x<60)

　　　　　　v′(x)=60x-3/2x²

　　令60x-3/2x²=0，  解得：x₁=0（舍去） x₂=40。

　　当0<x<40时，　v′(x)>0；

　　当60<x<40时，　v′(x)<0；

　　v(x)在40附近的符号为左正右负，

　　所以V极大＝V(40)=60′40²-40³/2=1600（厘米）。

　　又v(x)在其定义域（0，60）内有一个极大值，

　　所以v最大= v(40)= 1600(厘米³) 。

　　答：略

　　我根据自己的教学实践，对本节的教学进行了如上三个方面的修改。我认为这样做，使这一节的内容从逻辑上更严密了，内容安排更严谨了，解题更简练明了了。学生接受起来也非常顺利。

　　最后要说明的一点是：根据这三个建议使书上三类例题都化简了，是不是无形中降低了教材的难度呢？我觉得没有，因为在这一节的最后，我吸收了书上例题的解题长处：列表画图，使学生明了函数的导数与函数的性质的整体变化情况，补了下面的例题并做了相应的练习：

　　已知y=f (x)=4x²（x²-2），试利用函数的导数研究函数在[-2，2]上的性质。

　　解：先求导得f′(x)=16x³-16x    令f (x)=16x（x²-1）=0， 

　　解得  x₁=0  x₂=1  x₃=-1。

　　当-2<x<-1时，　f′(x)<0；

　　当-1<x<0时，　f′(x)>0；　　(在-1附近f′(x)左负右正)

　　当-1<x<0时，　f′(x)>0；

　　当0<x<1时，　f′(x)<0；　　(在0附近f′(x)左正右负)

　　当0<x<1时，　f′(x)<0；

　　当1<x<2时，　f′(x)>0；　　(在1附近f′(x)左负右正)

　　Q　y_极小=f(-1)=-4　y_极大＝f(0)　y_极小＝f(1)=-4，

　　又f(-2)=f(2)=32　\　y_最大＝32　y_最小＝-4。

　　当x变化时，f (x)、f′(x) 的变化情况如下表

　　根据这个变化表得函数的草图如下：

                                                                                                           [责任编辑：尤书才]  

［摘自：沧州师范专科学校学报］