浅析导数概念_数学论文

(吕梁高等专科学校数学系，山西离石033000)

　　[摘　要]　导数概念是数学分析基本概念，很多同学对此模棱两可，现从“导数概念局部性”“利用导函数极限求导数值”“两个实例”三方面对导数概念进行讨论，使同学们对导数有更深更全面的了解。

　　[关键词]　导数；极限[中图分类号]Ｏ172。1　　　[文献标识码]Ａ

　　1.　导数概念的局部性

　　因为导数与连续同样是用某一点的极限定义，故导数与连续同样也是一个局部性的概念，函数ｆ(ｘ)在ｘ₀连续，在ｘ₀邻域不一定连续，同样，ｆ(ｘ)在ｘ₀可导，在ｘ₀邻域也不一定可导。

　　例如：ｆ(ｘ)=ｘ²Ｄ(ｘ)，(其中Ｄ(ｘ)为狄利克雷函数)，可以证明，它只在原点可导。

　　因为

　　，

　　可见ｆ(ｘ)在ｘ=0可导且ｆ'(ｘ)=0，但ｆ(ｘ)在其余点不可导。事实上，设{Ｘ_ｎ}是大于且趋于ｘ₀的有理数列，{ｘｎ'}是大于且趋于ｘ₀的无理数列。于是当ｘ₀为无理数时，因为

　　，

　　但。

　　由海涅定理：ｆ(ｘ)在无理点ｘ₀不可导。当ｘ₀为非零有理数时，

　　因为，

　　但，

　　由海涅定理：ｆ(ｘ)在非零有理点ｘ₀处也不可导。

　　2.　利用导函数的极限求导数值一般来说，不能用函数ｆ(ｘ)在ｘ₀的极限求ｆ(ｘ₀)。除非ｆ(ｘ)在ｘ₀连续。但是导函数却不一样，在较弱条件下就可以这样做。

　　定理：设函数ｆ(ｘ)在区间[ｘ₀，ｘ₀+h](h>0)内连续，且当ｘ>ｘ₀时有有穷导数ｆ'(ｘ)，若ｆ'(ｘ₀+0)存在(有穷或无穷)，则

　　ｆ'(ｘ₀+0)=ｆ'(ｘ₀)

　　证明：设0<△ｘ<h由拉格朗日中值定理有

　　其中0<0<1，令△ｘ→0_⁺得：ｆ'(ｘ₀)=ｆ'(ｘ₀+0)上述结果有下面两方面意义：

　　1).　导函数在某点的单侧极限存在，则该点的同侧导数就存在，若此左右极限又相等，那么极限就是该点的导数，这就是说用导函数的单侧极限可以求导数值。这种方法当特殊点的导数不易求，而导函数的单侧极限易求时尤其有效。

　　2).　某点导数存在，则导函数在该点的左右极限存在且相等，这意味着导函数不可能有跳跃间断点，或者说导函数在每一点，或连续，或第二类间断；还可换一种说法，就是有跃点的函数没有原函数，即不会是某个函数的导函数，这后一说法在积分学中表明：有跃点的函数无法求不定积分。

　　3.　几个反例

　　　　3.1　

　　　　但是ｆ(ｘ)在任何一点都没有导数。

　　例如：

　　因为ｘ+1/ｎ与ｘ同为有理数，或同为无理数，

　　故恒有：ｆ(ｘ+1/ｎ)-ｆ(ｘ)=0

　　所以。

　　但是ｆ(ｘ)在(-∞，+∞)内处处间断，从而在任何一点都没有导数。

　　本例说明：求函数在一点的导数时，自变量的增量必须是趋向于零的任意量，它不能只按某些特定的方式趋向于零。

　　3.2　存在，但是函数ｆ(ｘ)在ｘ=ａ不可导。例如ｆ(ｘ)=│ｘ│在ｘ=0

　　有ｆ(0+h)=ｆ(0-h)=│h│

　　但是ｆ(ｘ)在ｘ=0不可导

　　本例说明：这一结论是在ｆ(ｘ)在ｘ=ａ处可导的条件下才成立。

　　[参考文献]
　　[1]刘玉琏。数学分析讲义[Ｍ]。北京：高等教育出版社，1992，8。146。
　　[2]吉米多维奇。数学分析习题集[Ｍ]。山东：山东科学技术出版社，1980，92。

［吕梁高等专科学校学报］