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  • 国外小学数学常用的一种教具——奎逊耐木条_数学论文

    近二、三十年,国外小学数学教学中,广泛使用一种教具,叫做奎逊耐木条。它是比利时一位小学校长乔治·奎逊耐研制的。

      这套教具由十种木条组成,分别涂上白、红、浅绿、紫、黄、深绿、黑、蓝、棕、橙等颜色。十种木条的截面都是1平方厘米的正方形、长度分别为1、2、3、……10厘米。显然,白色木条是一个正方体、其他各色木条都是长方体。

      奎逊耐木条具有以下几个特点:

      (一)是一种多用途的教具。利用奎逊耐木条可以学习自然数、整数四则运算、分数的概念、分数四则运算等,还可以学习某些代数知识,如整式的运算,以及简单的几何形体的认识和面积、体积的计算等。因此在小学各年级数学课上都可以使用。

      (二)是一种操作性的教具。它不只作为教师演示用的一种教具,更重要的是学生实际操作用的教具。通过操作,如排序、比较、合并、移动、均分等,学生不仅理解所学概念的意义,计算法则的来源,或某一性质的原理,而且发展了操作能力。上课时,通常发给每个学生一盒奎逊耐木条,每盒木条的数量大致如下:

      (三)是一种探索性的教具。用这种教具大都不是直接向学生说明某一数学概念或计算法则,而是使学生通过操作去探索和发现数学的规律。例如,要知道5是哪两个数组成的,学生就要试着找出哪两个木条接起来跟黄木条等长,要找出所有可能的情况,并按照顺序排好,然后做出结论。学生在操作时会发现,用调换木条的顺序的方法可以较快地找出所有可能的情况,如找到一个白木条和一个紫木条(表示1和4)合起来是5,很快想到一个紫木条和一个木白条合起来也是5。因而在操作中促进了学生思维能力的发展。

      下面简单介绍如何使用奎逊耐木条教学数学概念和进行计算。

    一 认识自然数

      把白木条看作1,通过与白木条的比较,可以引导儿童确定其他颜色的木条依次表示2,3,4,5,……10。例如(见下图),通过摆木条知道红木条表示2,浅绿木条表示3。

      把10种木条按照由短到长的顺序排列成楼梯形状,就表示从1到10的自然数列。利用它可以学习10以内的数的顺序和大小比较。还可以学数的序数含义。例如,向学生提问:

      —从左起第四个是什么颜色的木条?

      —从右起第三个是什么颜色的木条?

      —黄木条排在从左起第几个?排在从右起第几个?

      用木条还可以学习数的组成。例如,通过摆木条可以找出5的组成(见右图)有:4和1、3和2、2和3以及1和4。

      利用木条还可以学习100以内的数。

      数100以内的数时,每数够10个白木条,可以用1个橙木条代替;超过40的数,可以把不同颜色的木条接起来。如1个蓝本条和1个白木条,1个棕木条和1个红木条,都表示10。

      两位以上的数也可以按照位值原则来摆。例如,红木条放在个位表示2个一,放在十位表示2个十,放在百位表示2个百。

    二 整数加、减法

      (一)做两个数的和不超过10的加法,先把表示这两个数的木条接起来,然后找出一个木条跟相接的两个木条等长,这个木条所表示的数就是两个加数的和。例如,右图表示3+5=8。

      遇到和超过10的,可以拿1个橙木条和另一个木条接起来表示两个加数的和。例如:棕木条和紫木条接起来表示8+4,要知和是多少,下面放1个橙木条和1个红木条,容易看出和是12。

      (二)说明两位以上的数的加法,可以按照位值原则摆木条,然后逐位加,某位上两个数的和满10,要在前一位增加一个单位。

      (三)做两个10以内的数的减法,先找出两个木条分别表示被减数和减数,使它们的一端对齐,然后找出另一个木条和短木条(表示减数)接起来跟长木条(表示被减数)等长。找出的木条所表示的数就是减得的差。例如右上图表示7-3=4。

      计算十几减几(退位)的减法,可以按照同样方法进行。

      (四)两位以上的数的减法,要按照位值原则摆木条,然后逐位减,某位上的数不够减要从前一位退1改作10,再减。

      (五)通过摆木条,还可以学习加减法的关系和加、减法的运算性质。例如:

      再举其他类似的例子,最后引导学生概括出加法结合律又例如:

      再举其他例子,最后引导学生做出概括:一个数减去两个数的和等于从这个数里依次减去和里的各个加数。

    三 整数乘、除法

      (一)两个数相乘,先拿两个木条分别表示被乘数和乘数,摆成十字形;然后按照表示乘数的木条的长度连续摆满表示被乘数的木条,使表示被乘数的那几个木条的总宽度跟表示乘数的木条的长度正好相等。最后根据所摆的同样的几个木条的总长度,算出两数相乘的积。例如:

      (二)几个数连乘,要把表示相乘的几个数的木条摆成复合的十字形(又叫塔形),然后按前边的方法分步操作和计算。例如:

      (三)几个相同的数连乘,也就是一个数的若干次方,用奎逊耐木条摆成塔形,可以很直观地表示出来。例如:

      (四)计算除法时,先拿两个木条分别表示被除数和除数,然后看用几个表示除数的木条接在一起眼表示被除数的木条等长,商就是几。

      如果最后需要接的木条比表示除数的木条短,就表示除后有余数。例如,下图表示17÷3=5……2。

      有时做较大的数的除法,被除数和除数可以用十字形或塔形表示。例如,210÷14,分别摆成2×3×5×7的塔形和2×7的十字形,然后从被除数里拿掉2×7,得到3×5,就是商得15。

      (五)多位数乘除法,也可以用奎逊耐木条来说明。但是最好先了解乘除法的运算性质。

      利用奎逊耐木条,可以这样说明乘法分配律:

      根据乘法分配律,用木条可以说明笔算乘法的计算方法。例如,24×13可以看作是3个(20+4)和10个(20+4)的和,也就是3个4、3个20、10个4和10个20的和。

      在摆木条的基础上总结乘法竖式的计算步骤如下:

      根据和除以一个数的运算性质,用木条可以说明笔算除法的计算方法。例如,432÷2,可以把被除数分解成400、20和12,拿这三个数依次除以2(如下页图)。

      在摆木条的基础上总结除法竖式的计算步骤如下:

     

     

    四 分解质因数

      (一)利用奎逊耐木条可以给学生建立因数、质数和合数的概念。例如:

      通过摆木条,可以直观地了解,12可以分别由1个12、2个6、3个4、4个3、6个2或12个1组成,也就是12能被12、6、4、3、2、1整除,由此也就知道这些数都是12的约数(或因数),还可以了解6、3、2、1 都是6的约数(或因数);4、2、1是4的约数(或因数);等等。

      通过摆木条,学生可以了解,有的数只能用它自身(表示该数的木条)和若干个1(白木条)来表示。这就是说,这个数的约数只有它自身和1,这样的数就叫做质数,如2、3、7等:

      有的数除表示该数的木条自身和白木条以外,可以用其他木条表示,也就是说除该数自身和1外,还有其他约数。这样的数就是合数。如12、6、4等。有了木条帮助理解,学生对这些概念就不会感到抽象难懂了。

      (二)利用奎逊耐木条可以说明把一个合数分解质因数。先说明,每个合数都可以用表示它的因数的木条摆成一个塔形,例如12,首先用下面两个十字形来表示。

      由于4和6都是合数,因此还可以用更短的木条组成塔形来表示。

      因为这些木条所表示的数都是质数,所以这个塔形就叫质数塔形。把一个合数摆成质数塔形,说明这个数可以用几个质数相乘的形式来表示,就叫做把这个合数分解质因数,上页图的质数塔形表示:12=3×2×2。

      (三)通过摆质数塔形来把合数分解质因数后,很容易找出两个合数的公因数和最大公因数。例如42和30分别用下面的质数塔形来表示:

      可以看出,42和30有公因数2、3和6,最大公因数是6。

      (四)通过摆质数塔形来把合数分解质因数后,也很容易找出两个合数的最小公倍数。例如,12和18,先分别用下面的质数塔形来表示:

      然后参照这两个塔形,摆一个新塔形,要是原来2个质数塔形的公倍数,就要包含原来每个塔形的所有木条。具体地对12来说,所摆的这个新塔形至少必须包含两个红木条和一个浅绿木条。就是要包含的质因数至少必须有两个2和一个3;对18来说,这个新塔形至少必须包含一个红木条和两个浅绿木条,就是要包含的质因数至少必须有一个2和两个3。这样新塔形至少要包含两个红木条和两个浅绿木条,也就是两个2和两个3。由此得到12和18的最小公倍数是:2×2×3×3= 36。

      也可以按一般求最小公倍数的方法,先找两个数公有的质因数。于是断定新塔形要包含它们公有的一个红木条和一个浅绿木条;而新塔形要是12的倍数,至少还要有一个红木条;要是18的倍数,至少还要有一个浅绿木条。这样也可以断定新塔形至少要包含两个2和两个3。

    五 分数的概念

      分数概念涉及到部分和整体的关系,一个分数表示某一部分是整体的几分之一或几分之几。因此可以从奎逊耐木条的长短的比较中引出分数。例如:

      长木条在左,短木条在右,表示长木条是短木条的几倍;反过来,短木条在左,长木条在右,表示短木条是长木条的几分之一或几分之几(都是以右边的木条作为比较的标准)。比较上面每一组的两个木条,可以看出,紫

     

     

      如果选定某种颜色的木条作为单位1,则其他颜色的木条就可以表示某些分数或整数。例如:

      可以把十种颜色的木条按顺序排列,然后选定某种颜色的木条为1,做判定其他颜色的木条各表示多少的练习。例如:

      由此可见,用这些木条也可以表示小数0.1、0. 2……

     

      利用木条还可以做分数的等值变形练习。

      

      律,从而得到分数的基本性质。

    六 分数四则运算

      (一)利用木条可以说明分数加、减法。例如:以橙木条和红木条的总

      和时,先化成同分母的分数,即分别用12个白木条(或一个橙木条和一个红木条接起来)表示1。表示三个分数和的三种颜色的木条总长等于9个白木

     

     

     

     

     

      (二)利用木条还可以说明分数乘、除法的计算方法。例如:要算2×

      示1的紫木条比较。可以知道,紫木条表示1时,黑木

    条实际是多少,再拿它同表示1的深绿木条比较。可以知道,深绿木条表示

     

     

     

     

     

     

     

      红木条和4个浅绿木条等长,所以商是6。

     

     

     

     

     

      为了说明除以一个分数要乘以这个分数的倒数,在举上面第一个除法例

     

      在举上面第二个除法例子时,为要说明计算方法,可以联系分数乘法的

     

    应有6个浅绿木条那样长,摆出6个浅绿木条。实际计算可得:

    七 比和比例

      联系前面用木条表示分数,很容易导出比的概念。如右图。

      用下面的方法可以检查这2∶3和4∶6两个比是否成比例:

     

     

      木条上下调换,然后交叉相乘得3×4=2×6,由此说明四个木条成比例,

      利用摆木条可以解正比例的问题。例如:

      买6块糖用了15分,25分可以买几块?

      从红、浅绿、黄、黄四个木条的乘积中,拿掉公有的一个浅绿木条和一个黄木条,显然剩一个红木条和一个黄木条(表示除得的商),乘起来得10,从而导出比例的解法。

      6∶15=x∶25

      15x=6×25

             

    八 认识计量单位

      由于奎逊耐木条的长度是以厘米为单位的,所以用来认识长度单位厘米和分米就非常方便。此外,还可以认识面积单位1平方厘米、一平方分米。认识1平方分米时,可以让学生用十种颜色的木条拼成如右图形,向学生指出正方形平面的边长是1分米,面积是1平方分米。进一步研究1平方分米和1平方厘米的进率关系。

      同样,认识体积单位时,可以让学生用木条拼成一个棱长为1分米的正方体,指出它的体积是1立方分米,进一步研究1立方分米和1立方厘米的进率关系。

    九 几何初步知识

      (一)利用奎逊耐木条可以认识长方形、正方形、长方体和正方体。除了利用单个的木条来研究这些图形的性质外,还可以拿几个木条拼成一个形体来研究。

      (二)通过摆木条可以使学生比较清楚地理解面积的概念,以及长方形、正方形的面积计算方法。

      例如,让学生在方格纸(每个方格边长一厘米)上摆3个浅绿木条,再摆2个紫木条,然后比较这两个形体底面的大小。通过数方格不仅知道哪个底面大,也帮助形成面积的概念。进一步可以启发学生研究每个平面图形所含的平方厘米数,与边长的关系,从而导出面积的计算方法。

      (三)通过摆木条还可以使学生比较清楚地理解体积的概念,以及长方体、正方体表面积和体积的计算方法。

      (四)利用木条还可以使学生认识直角、对称等。

    十 教学时使用奎逊耐木条应注意的几点

      奎逊耐木条在国外使用比较广泛,但我国还很少使用。由于我国的具体情况有些不同,如何更有效地使用这种教具,还需要进一步研究,现在看来,有以下几点值得注意。

      (一)小学数学中绝大部分教学内容虽然都可用奎逊耐木条来帮助说明概念,理解算理,但教学时要避免单一化,不能把它作为唯一的教具。有些内容如果使用其他教具效果更好,就不一定用它,或与它彼此配合使用。

      (二)奎逊耐木条,同其他教具一样,只是学习的一种手段。教学时,同使用其他直观教具一样,要在学生操作、感知的基础上及时引导学生抽象概括,以利于学生抽象思维的发展。学生操作后,要注意让学生用言语表达,形成必要的概括结论,总结出探索的规律,有时可以适当提一两个问题让学生在操作中探索多种解法或多种答案,以促进学生创造思维的发展。

      (三)由于它是一种学生操作的教具,着重让学生在操作中探索和发现规律,在使用时就比较费时间。因此如何引导学生操作,既发挥学生思维的积极性,又不致形成学生漫无边际的探索,浪费时间,使学生的主体作用和教师的主导作用很好地结合起来,是一个需要特别注意的问题。为此教师课前的周密设计很重要。低年级儿童还不善于取出、放回和保管木条,教师事先都要考虑如何安排和指导。

      (四)我国的班级人数多,而奎逊耐木条比较小,不便演示。为此可以考虑设计制作一套尺寸较大的木条,既可挂在黑板上,又容易取下,便于教师演示。


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